计算$\pi$
采样法
从图中可知：矩形的面积为 $A_r = 4$，圆的面积为 $A_c = \pi$。现在在矩形框内随机的抽取采样点（均匀抽样），那么采样点位于圆内的概率就为 $p = \frac{A_c}{A_r} =\frac{\pi}{4}$。
步骤：
- 采样
m个点，有n个点在圆内 - $\pi$值就是：$\pi \approx \frac{4 n}{m}$
- 误差精度为：$|\frac{4 n}{m} - \pi| = O(\frac{1}{\sqrt{m}})$
Buffon针问题
所有的针都一摸一样，针与纸相交的概率就为 $P = \frac{2l}{\pi d}$。这样根据monte carlo就计算 $\pi$。
计算定积分
问题： 计算下列定积分的值
$$I = \int_a^b f(x) \ dx$$
定积分的定义：
$$I =\lim_{n \to \infin} \sum_{i=0}^n f(a + i * \frac{b - a}{n}) \frac{b-a}{n}$$
近似计算：
- 根据定积分定义进行近似计算：$I \approx (b - a) \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n f(x_i) $
计算期望
期望定义： 试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，反映随机变量平均取值的大小。$p(x)$代表概率密度函数。
$$E(f(X)) = \int f(x) p(x) \ dx$$
近似计算：
- 根据概率密度函数 $p(x)$ 随机采样 $x_1,x_2,\dotsm,x_n$
- 根据定积分定义进行近似计算：$E(f(X)) \approx \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n f(x_i) $