数字信号处理

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• 第一章 时域离散信号和时域离散系统
  • 一、基本概念
    • 1.1 时域离散信号表示
    • 1.2 常用信号
    • 1.3 正弦信号求解周期
    • 1.4 信号的运算
  • 二、时域离散系统概念
    • 2.1 时域离散系统的运算
    • 2.2 线性系统
    • 2.3 时不变系统
    • 2.4 线性时不变系统
    • 2.5 单位脉冲响应
    • 2.6 卷积和
    • 2.7 因果性与稳定性
  • 三、时域离散系统数学模型
    • 3.1 常系数差分方程
    • 3.2 解差分方程
  • 四、信号的采集
  • 五、信号的频谱
• 第二章 频域分析
  • 一、序列傅里叶变换
    • 1.1 定义
    • 1.2 典型的序列傅里叶变换
    • 1.3 性质
    • 1.4 序列傅里叶变换的对称性
  • 二、Z变换
    • 2.1 定义
    • 2.2 序列分类
    • 2.3 性质
  • 三、z反变换
    • 3.1 常用的z变换公式
    • 3.2 z反变换
    • 3.3 部分分式展开求解
    • 3.4 留数法
  • 四、z变换解差分方程
  • 五、z变换分析系统的频响特性
    • 5.1 频率响应函数与系统函数
    • 5.2 系统频响特性
    • 5.3 输入频率信号 $x(n) = e^{j \omega_0 n}$
    • 5.4 几何法绘制响应特性图
  • 六、系统函数极点分布与系统因果性、稳定性
    • 6.1 系统函数：线性时不变系统
    • 6.2 系统因果性
    • 6.3 系统稳定性
• 第三章 离散傅里叶变换
  • 一、定位
  • 二、离散傅里叶变换定义
  • 三、离散傅里叶级数
  • 四、傅里叶变换总结
  • 五、周期延拓
  • 六、离散傅里叶变换的性质
    • 6.1 线性
    • 6.2 循环移位特性
    • 6.3 循环卷积
    • 6.4 复共轭DFT
    • 6.5 DFT的共轭对称性
• 第四章 FFT快速傅里叶变换
  • 一、蝶形运算
  • 二、倒叙算法
  • 三、旋转因子：$W_N^k$
• 第五章 时域离散系统的网络结构
  • 一、系统框图
    • 1.1 表示
    • 1.2 系统图转系统函数
  • 二、信号流图
• 第六章 滤波器
  • 一、模拟频率与数字频率
    • 1.1 模拟信号
    • 1.2 数字信号
  • 二、滤波器分类
  • 三、典型低通滤波器
  • 四、巴特沃斯低通滤波器
  • 五、数字滤波器分类
    • 5.1 通道类型分类
    • 5.2 单位脉冲响应的长度分类
  • 六、IIR滤波器的间接法设计
  • 七、高通滤波器
  • 八、带通滤波器
  • 九、FIR滤波器
  • 9.1 特点
  • 9.2 分类
  • 十、FIR滤波器设计
    • 10.1 通用公式
    • 10.2 理想的FIR低通滤波器
    • 10.3 窗函数

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第一章 时域离散信号和时域离散系统

一、基本概念

1.1 时域离散信号表示

   驱动的变量为次数n，而非时间。

1. 集合表示
   $$x(n) = \{\underline{1},2,4,6,5,\dotsm\} \tag{1.1}$$

   • n=0的样本：添加下划线
   • 样本按照顺序排列

2. 公式

   $$x(n) = sin(\omega n), \ n为样本数$$

3. 图像

1.2 常用信号

1. 单位脉冲序列 $\delta(n)$
   $$\delta(n) = \{\dotsm,0,\underline{1},0,\dotsm\} \tag{1.2}$$

   

   所有的数字信号，都能通过单位脉冲的缩放，偏移，叠加得到。

2. 单位阶跃序列 $u(n)$
   $$u(n) = \{\dotsm,0,\underline{1},1,1,\dotsm\} \tag{1.3}$$

   

3. 单位矩形序列 $R_N(n)$
   $$R_N(n) = \{\dotsm,0,\underline{1},1,1,\dotsm,0,0\} \tag{1.4}$$

   

4. 实指数序列 $a^n u(n)$

   

   如图，左边全为0，右边有值的序列又称之为：单边序列。

5. 复指数序列 $e^{( \sigma + j \omega_0 )n}$

   $$e^{( \sigma + j \omega_0 )n} = e^{\delta}(cos(\omega_0 n) + j sin(\omega_0 n)) \tag{1.5}$$

   

6. 正弦 $sin(\omega_0 n)$

   

   正弦的离散采样值，不一定是周期循环的。

7. 周期序列

   $$x(n) = x(n + N) ; N 是整数。\tag{1.6}$$

1.3 正弦信号求解周期

  当多个正弦叠加时，周期为所有正弦信号的公倍数。

1.4 信号的运算

1. 加减乘除
   n对齐后，直接各个对应采样值进行加减乘除

2. 位移，翻转

   位移：x(n-N)，左加右减
   翻转：x(-n)

3. 尺度变换
   $x(an)$ :序列x(n)每间隔a个点取一个点，构成一个新的序列。

   

二、时域离散系统概念

2.1 时域离散系统的运算

1. 加减，乘除，倍增

   

2. 函数运算

   

2.2 线性系统

• 定义：系统的输入输出之间满足线性叠加原理。
• 判断原则： 是用系统进行判定，而不是用单位脉冲响应h(n)进行判定

$$\begin{aligned} 设： y_1(n) &= T [a_1 x_1(n)] \\ y_2(n) &= T [a_2 x_2(n)] \\ 则： y_1(n) + y_2(n) &= T[[a_1 x_1(n) + a_2 x_2(n)] \end{aligned} \tag{2.1}$$

2.3 时不变系统

• 定义：系统对于输入信号的运算关系在整个过程中不随时间变化。
• 判断原则： 是用系统进行判定，而不是用单位脉冲响应h(n)进行判定

$$\begin{aligned} 设： y(n) &= T [a x(n)] \\ 则： y(n - n_0) &= T [a x(n - n_0)] \end{aligned} \tag{2.2}$$

2.4 线性时不变系统

  同时满足上述的2.2和2.3的系统。

2.5 单位脉冲响应

   系统输入$\delta(n)$时，系统输出就是单位脉冲响应。
$$h(n) = T [\delta(n)] \tag{2.3}$$

2.6 卷积和

  对于 线性时不变系统 系统的输出可以通过 单位脉冲响应和系统输入卷积计算得到。

$$y(n) = x(n) * h(n) = \sum_k x(k) h(n - k) \tag{2.4}$$

• 交换律：a * b = b * a
• 结合律：(a * b) * c = a * (b * c)
• 分配律：a * (b + c) = a*b + a * c

2.7 因果性与稳定性

1. 因果性

   定义： 系统的输出不发生在输入之前。超前系统没有因果性。 通过系统进行判定
   $$\begin{aligned} y(n) &= ax(n) + b \\ y(n) &= ax(n - 1) + b ; 滞后\\ y(n) &= ax(n + 1) + b ; 超前 \\ \end{aligned} \tag{2.5}$$
   线性时不变系统的判定： 充要条件为，当 $n < 0$ 时，$h(n) = 0$；即 系统的初始储能为0。 通过单位脉冲响应判定h(n)

2. 稳定性
   定义： 对有界限的输入，系统产生的输出也是有界的。 通过系统进行判定
   线性时不变系统的判定： 系统的单位脉冲响应 绝对可和；$\sum_{n=-\infin}^{\infin} |h(n)| < \infin$。 通过单位脉冲响应判定h(n)

三、时域离散系统数学模型

3.1 常系数差分方程

1. D延时

   

   $$\begin{aligned} y(n) &= {\underline{1},2,3,\dotsm}\\ y(n) &= {\underline{0},1,2,3,\dotsm}\\ \end{aligned} \tag{3.1}$$

2. 常系数差分方程

   
   

   $$\begin{aligned} y(n) + ay(n-1) &= x(n)；一阶常系数差分方程 \\ y(n) + ay(n-1) + by(n-2) &= x(n)；二阶常系数差分方程 \\ \dotsm \end{aligned}\tag{3.2}$$

     定义： 有几个D延时，就是几阶。

3.2 解差分方程

定义：求解差分方程，就是计算y(n)值。

• 经典法：直接算y(n)的公式
• 递推法: 根据 初始条件 和 递推式 进行递推求解y(n)
• z变换法

四、信号的采集

• 传统模型：只完成了采样
• A/D转换器：直接完成三个步骤，输出数字信号

五、信号的频谱

源信号频谱：

采样信号的频谱：

  奈奎斯特采样定律：采样频率 $\Omega_s \ge 2\Omega_c$，就能唯一恢复源信号。

注意：

• 角频率与频率不一样
• 频率是 $\frac{1}{T}$，表示的是一秒重复多少次。

抽样信号的恢复：通过低通滤波器进行恢复。

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第二章 频域分析

一、序列傅里叶变换

1.1 定义

• 采样信号：
  $$\hat{x}(t) = \sum_{n=-\infin}^{\infin} x(nT)\delta(t - nT) \tag{1.1}$$

其中：T为采样周期

• 连续傅里叶变换

$$\begin{aligned} X(j\Omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{x}(t) e^{-j \Omega t} d t \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n T) \delta(t-n T)\right] e^{-j \Omega t} dt \\ & = \sum_{n=-\infin}^{\infin} x(nT) e^{-j \Omega n T} \end{aligned} \tag{1.2}$$

• 序列傅里叶变换
  令：x(n) = x(nT)；$\Omega T = \omega$
  $$X(e^{j \omega}) = \sum_{n=-\infin}^{\infin} x(n) e^{-j \omega n} \tag{1.3}$$

  存在条件：$\sum_{n=-\infin}^{\infin} |x(n)| < \infin$

1.2 典型的序列傅里叶变换

• 单位脉冲

$$X(e^{j \omega}) = 1 \tag{1.4}$$

• 单边实指数序列

$$X(e^{j \omega}) = \frac{1}{1 - a e^{-j \omega}} \tag{1.5}$$

1.3 性质

• 周期性：欧拉

$$X(e^{j \omega}) = X(e^{j (\omega + 2 \pi M)}) \tag{1.6}$$

• 线性叠加

$$\begin{aligned} &设：FT[x1(n)] = X1(e^{j \omega}),FT[x2(n)] = X2(e^{j \omega}) \\ &则：FT[x1(n) + x2(n)] = X1(e^{j \omega}) + X2(e^{j \omega}) \end{aligned} \tag{1.7}$$

• 时移与频移：

$$\begin{aligned} &时移：FT[x(n-n_0)] = e^{-j \omega n_0} X(e^{j \omega}) \\ &频移：FT[e^{j \omega_0 n} x(n) = X(e^{j (\omega - \omega_0})] \end{aligned} \tag{1.8}$$

• 时域卷积性质

$$\begin{aligned} &设：y(n) = x(n) * h(n) \\ &则：Y(e^{j \omega}) = X(e^{j \omega})H(e^{j \omega}) \end{aligned} \tag{1.9}$$

• 频域卷积

$$\begin{aligned} &设：y(n) = x(n) h(n) \\ &则：Y(e^{j \omega}) = \frac{1}{2 \pi} X(e^{j \omega}) * H(e^{j \omega}) \end{aligned} \tag{1.10}$$

• 帕斯维尔定理（能量定理）

$$\sum_{n=-\infin}^{\infin} |x(n)|^2 = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} |X(e^{j \omega})|^2 \tag{1.11}$$

1.4 序列傅里叶变换的对称性

• 共轭复数

$$\begin{aligned} &设：z = x + yj \qquad z = re^{j \omega}\\ &共轭复数：z^* = x - yj \qquad z^* = re^{-j \omega} \end{aligned} \tag{1.12}$$

• $x(-n),x^*(n),x^*(-n)$

$$\begin{aligned} FT[x(-n)] &= X(e^{-j \omega}) \\ FT[x^*(n)] &= X^*(e^{-j \omega}) \\ FT[x^*(-n)] &= X^*(e^{j \omega}) \end{aligned}\tag{1.13}$$

• 共轭对称与反对称序列

  共轭对称序列： $x(n) = x^*(-n)$；虚部为0，为 偶序列
  共轭反对称序列： $x(n) = - x^*(-n)$；虚部为0，为 奇序列

• 共轭对称与反对称函数

  共轭对称函数： $X(e^{j \omega}) = X^*(e^{-j \omega})$
  共轭反对称函数： $X(e^{j \omega}) = - X^*(e^{-j \omega})$

• x(n)序列的共轭对称分量与反对称分量

  

    由此，可将x(n)进行改写：

  $$x(n) = x_e(n) + x_o(n) \tag{1.14}$$

  $x(n)$ 与 $FT[x(n)]$ 的实部，虚部与共轭对称分量，共轭反对称分量一一对应。

  

二、Z变换

2.1 定义

  由于序列傅里叶变换与连续傅里叶变换同样存在这成立条件，采用拉普拉斯的思路方案，可以将序列傅里叶变换的使用范围拓宽，这个就是Z变换。 z变换存在收敛域，就是a能不能存在。

  定义一个数 $a^{-n}$，可以驱使x(n)满足序列傅里叶变换的存在条件：

$$X(ae^{j \omega}) = \sum_{n=-\infin}^{\infin} x(n) a^{-n} e^{-j \omega n} \tag{2.1}$$

令：$z = ae^{j \omega}$

$$X(z) = \sum_{n=-\infin}^{\infin} x(n) z^{-n} \tag{2.2}$$

2.2 序列分类

因果序列是右边序列的一种；因果序列是物理上能实现的。

2.3 性质

• 线性

  $$Z[ax_1(n) + bx_2(n)] = aX_1(z) + bX_2(z) \tag{2.3}$$

     需要讨论收敛域

• 移位

  • 双边序列：
    $$Z[x(n \pm n_0)] = z^{\pm n_0}X(z) \tag{2.4}$$
  • 右边序列右移：
    $$Z[x(n - n_0)] = z^{- n_0} X(z) + \sum_{i=-n_o}^{-1} x(i)Z^{n_0+i} \tag{2.5}$$
  • 右边序列左移：
    $$Z[x(n + n_0)] = z^{n_0} X(z) - \sum_{i=1}^{n_0} x(i)Z^{n_0-si} \tag{2.6}$$

• Z域的尺度变换

  设Z[x(n)] = X(z)，则 $y(n) = a^n x(n)$的z变换为：$Y(z)=X(a^{-1}z)$。

• 序列乘以n

$$Z[nx(n)] = -z \frac{dX(z)}{dz} \tag{2.7}$$

• 初值定理

$$\begin{aligned} x(0) = \lim_{z \rightarrow \infty} X(z) \tag{2.8} \end{aligned}$$

• 终值定理

$$\begin{aligned} x(\infty) = \lim_{z \rightarrow 1} (1 - z)X(z) \tag{2.9} \end{aligned}$$

三、z反变换

3.1 常用的z变换公式

3.2 z反变换

• 定义： 已知序列的z变换X(z)，求原序列x(n)变换称为 z反变换。

• 通式： 所有的z变换公式都能化解为有理分式形式。
  $$X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}=\frac{b_{m} z^{m}+b_{m-1} z^{m-1}+\cdots b_{1} z+b_{0}}{a_{n} z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots a_{1} z+a_{0}} \tag{3.1}$$

  • 极点$p_k$： $D(z) = 0$
  • 零点$z_k$： $N(z) = 0$

3.3 部分分式展开求解

  主要引用了：实指数的z变换；z变换的线性。

3.4 留数法

• z反变换公式：围线积分（复数域积分）
  $$x(n)=\frac{1}{2 \pi j} \oint_{c} X(z) z^{n-1} d z \tag{3.2}$$

• 留数定理解围线积分：1阶(单)实极点，右边序列

  • 问题
    $$X(z)=\frac{N(z)}{\left(z-p_{1}\right) \cdots\left(z-p_{k}\right)}，|z|>\max \left[\left|p_{n}\right|\right] \tag{3.3}$$
    单极点： 分母每个括号的次方都是1。

  • 求解
    $$x(n) = \sum^k Res[X(z)z^{n-1}]_{z = p_k} , k为极点的个数 \tag{3.4}$$

    

• 留数定理解围线积分：高阶(重)实极点，右边序列

  

四、z变换解差分方程

• 差分方程

  

• z的位移变换

  

五、z变换分析系统的频响特性

5.1 频率响应函数与系统函数

• 频率响应函数 $H(e^{j \omega})$
  定义： 系统输出频率响应的特性。

• 系统函数 $H(z)$

  $$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} \tag{5.1}$$

5.2 系统频响特性

$$H(e^{j \omega}) = |H(e^{j \omega})|e^{j \phi(\omega)} \tag{5.2}$$

幅频特性：$|H(e^{j \omega})|$
相频特性：$\phi (\omega)$

5.3 输入频率信号 $x(n) = e^{j \omega_0 n}$

$$\begin{aligned} y(n) &= h(n) * x(n) \\ &= \sum_{m=-\infin}^{\infin} h(m)x(n-m) \\ &= \sum_{m=-\infin}^{\infin} h(m) e^{j \omega_0 (n-m)} \\ &= e^{j \omega_0 n}\sum_{m=-\infin}^{\infin} h(m) e^{- j \omega_0 m} \\ &= e^{j \omega_0 n} H(e^{j \omega_0}) \\ &=|H(e^{j \omega_0})|e^{j (\phi(\omega_0) + n \omega_0)} \end{aligned} \tag{5.3}$$

5.4 几何法绘制响应特性图

• 频响的距离

  $$\begin{aligned} &求：|1-z|\\ &设：z = a + jb \\ &则：|1-z|^2 = |(1-a)-jb|^2=(1-a)^2 + b^2 \end{aligned} \tag{5.4}$$

    对于(1 - z)而言，(1,0)就是一个零极点。对于圆 $(1-a)^2 + b^2 = R^2$ 而言，(1,0)又是一个圆心，且 模 R=|1 - z| 为半径。

  

    由于 $H(z)$ 频响中的 $z = e^{j \omega}$ ，因此，z的变化应该是在一个单位圆上。

  

• 幅频响应特性

  $$H(z) = \frac{(1-b_1 z^{-1})(1-b_2 z^{-1}) \dotsm}{(1 - a_1 z^{-1})(1 - a_2 z^{-1}) \dotsm} \tag{5.5}$$

  $$|H(e^{j \omega}) |= \frac{所有零点到单位圆上动点的长度之积}{所有极点到单位圆上动点的长度之积} \tag{5.6}$$

  极点：决定曲线峰值
  零点：决定曲线谷值

• 相频响应特性

  $$\phi(\omega) = \frac{所有零点到单位圆上动点的辐角之和}{所有极点到单位圆上动点的辐角之和} \tag{5.7}$$

六、系统函数极点分布与系统因果性、稳定性

6.1 系统函数：线性时不变系统

$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} \tag{6.1}$$

6.2 系统因果性

• n < 0 时，h(n) = 0

• 右边序列
     $H(z)$ 存在收敛域条件：
  $$|z| > max(p_k) \tag{6.2}$$

6.3 系统稳定性

$$\sum_{n=-\infin}^{\infin} |h(n)| < \infin \tag{6.3}$$

  结论： H(z)收敛域包含单位圆。

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第三章 离散傅里叶变换

一、定位

   用于计算机进行运算。

二、离散傅里叶变换定义

$$X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) W_N^{nk} \tag{2.1}$$

其中：N，DFT的变换区间长度；k，频率的编号。

$$W_N^{nk} = e^{-j \frac{2 \pi}{N} n k} \tag{2.2}$$

根据序列傅里叶变换可知，离散傅里叶也是周期的，其结果就是在对序列傅里叶变换的结果进行抽样。

三、离散傅里叶级数

   根据傅里叶存在定理，周期序列不满足绝对可和条件，因此周期序列就不存频谱。 对于这个问题需要利用傅里叶级数来解决。

周期序列的傅里叶级数：

$$\tilde{x}(k) = \sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}(n) W_N^{nk} \tag{3.1}$$

计算结果为傅里叶级数的系数。 N，为一个周期长度。

四、傅里叶变换总结

变换类型	特点	周期
连续傅里叶级数	时域连续，频域离散	时域
序列傅里叶	时域离散，频域连续	频域
离散傅里叶级数	时域离散，频域离散	频域 时域
离散傅里叶	时域离散，频域离散	\

结论：要想对频域进行离散采样，时域必须：1）周期；2）离散

五、周期延拓

   将求解离散傅里叶问题，转换为求解离散傅里叶级数问题。

• 表示符号

  	时域	频域
  序列	x(n)	X(n)
  周期	$\tilde{x}(n)$	$\tilde{X}(n)$

• 周期延拓

  定义： 将有限长的序列进行重复拼接，就能构造出一个新的周期性序列。

  $$\tilde{x}(n) = x((n))_N = x(n\%N) \tag{5.1}$$

  • $\tilde{x}(n)$ 为 $x(n)$ 的周期延拓序列
  • x(n) 为 $\tilde{x}(n)$ 的主值序列
  • $((n))_N$ 表示为求余数：n % N

• 主值序列

  $$X(n) = \tilde{X}(n)R_N(n) \tag{5.2}$$

  注意： 序列从 0 到 N-1 ；4.2式也是原序列x(n)的频谱X(n)计算公式。

• 三种主值序列的构造方式

  序列x(n)的长度：M
  周期延拓序列的周期(也是DFT的点数)：N

  • M = N，直接重复序列实现延拓；
  • M < N，缺少的用0进行补全；
  • M > N，先将序列以N进行拓展，重合部分，进行叠加。(不推荐)

六、离散傅里叶变换的性质

6.1 线性

$$DFT(ax_1(n) + bx_2(n))_N = aX_1(k) + bX_2(k) \tag{6.1}$$

其中：$x_1(n),x_2(n)$为有限长序列；N >= max(N1,N2)

6.2 循环移位特性

• 时移

$$y(n) = x((n + m))_N R_N(n) \tag{6.2}$$

  将 $x(n)$ 进行周期延拓，得到 $\tilde{x}(n)$ ；然后将 $\tilde{x}(n)$ 向右移动 m 位，得到 $\tilde{x}(n + m) = x((n + m))_N$；最后取出主值序列 $y(n)$ 。其结果就是有限序列x(n)被循环重排列了。

$$Y(k) = DFT[y(n)]_N = W_N^{-mk} X(k) \tag{6.3}$$

• 频移

$$IDFT[\tilde{X}(k + l)_N R_N(k)] = W_N^{nl} x(n) \tag{6.4}$$

6.3 循环卷积

6.4 复共轭DFT

$$\begin{aligned} DFT[x^*(n)]_N &= X^*(N-k) ; 0 \le k \le N-1 \\ X(N) &= X(0) ; k = N \end{aligned} \tag{6.5}$$

6.5 DFT的共轭对称性

   由于DFT变换后，X(k)满足共轭对称性，所以X(k)序列的模是对称分布的，计算结果就只用存一半就行。

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第四章 FFT快速傅里叶变换

一、蝶形运算

二、倒叙算法

对于N点的DFT：

1. 二进制编号的位数：$M = log_2 (N)$
2. 初始二进制全为0
3. 二进制编号就是右边蝶形时域序列的输入点的编号
4. 二进制编号加一，向着次高位进位，一直重置

三、旋转因子：$W_N^k$

• N点DFT的级数：$M = log_2 (N)$
• L级数的旋转因子：$W_N^{J 2^{M - L}}，J = 0,1,2 \dotsm ,(2^{L -1} -1)$

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第五章 时域离散系统的网络结构

一、系统框图

1.1 表示

1.2 系统图转系统函数

1. 第一个节点假设为1，依次计算出主线的各个节点值
2. 正向线路：计算 $Y(z) = b_0 z^{-2} - b_1 z^{-1} + b_2$
3. 反向线路：计算 $1 = X(z) + a_1 z^{-1} - a_0 z^{-2}$
4. 系统函数：$H(z) = \frac{b_0 z^{-2} - b_1 z^{-1} + b_2}{1 - a_1 z^{-1} + a_0 z^{-2}}$

二、信号流图

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第六章 滤波器

一、模拟频率与数字频率

1.1 模拟信号

• 线频率： $f$，每秒时间内信号变化的周期数。
• 角频率： $\Omega = 2 \pi f$，每秒时间内信息变化的弧长。

1.2 数字信号

• 采样频率： $f_s$，单位时间内采样的次数
• 数字频率： $\omega = 2 \pi \frac{f}{f_s}$，相邻两个采样点之间变化的弧度。

根据奈奎斯特采样定理：$f_s \ge 2f， \ \omega \le \pi$ ；数字信号频率：$\pi$ 就对应着模拟信号的最高角频率。

二、滤波器分类

三、典型低通滤波器

• 巴特沃斯滤波器
  单调下降
• 切比雪夫滤波器
  在通带或者阻带具有等波纹的特性，可提供选择性
• 椭圆滤波器
  选择性好，但是通带内均匀呈现，等波纹幅频特性
• 贝塞尔滤波器
  在通带内具有线性相位特性

四、巴特沃斯低通滤波器

1. 计算N

   

2. 查表

   

   

3. 计算 $\Omega_c$

   

4. 令 $P = \frac{s}{\Omega_c}$ 计算得到 $H_a(s)=G_a(P)$

五、数字滤波器分类

5.1 通道类型分类

根据奈奎斯特采样定理：$f_s \ge 2f， \ \omega \le \pi$ ；数字信号频率：$\pi$ 就对应着模拟信号的最高角频率。

5.2 单位脉冲响应的长度分类

• IIR滤波器 : 无限长脉冲响应数字滤波器

  $$y(n) - \sum\limits_{k=0}^{N-1} a_k y(n-k) = \sum\limits_{k=0}^{N-1} b_k x(n-k)\tag{5.1}$$

  $$H(z) = \frac{\sum\limits_{j=0}^{M}a_j z^{-j}}{1 + \sum\limits_{k=0}^{N}b_k z^{-k}} \tag{5.2}$$

  阶数由分母决定：N

• FIR滤波器 : 有限长脉冲响应数字滤波器

  $$y(n) = \sum\limits_{k=0}^{N-1} b_k x(n-k) \tag{5.3}$$

  $$H(z) = \sum\limits_{k=0}^{N-1} h(k) z^{-k} \tag{5.4}$$

  阶数为：N-1

六、IIR滤波器的间接法设计

1. 使用模拟滤波器的设计方法，设计出系统函数：$H_a(s)$
2. 将 $H_a(s)$ 转换为 $H(z)$

   • 脉冲响应不变法 ：高频会混叠，不能用于高通滤波器和带阻滤波器

     • s平面与z平面坐标对应关系：将$\Omega$的一个$2 \pi$ 区间映射到z平面

       

       $$\begin{aligned} s &= \delta + j \Omega \\ z &= a e^{j \omega} \\ 根据 \omega = \Omega T_s：z &= e^{sT_s} \end{aligned} \tag{6.1}$$

     • 极点变换

       

       $$H(z) = \sum\limits_{i = 1}^{N} \frac{T_s A_i}{1 - e^{p_{ki}T_s} z^{-1}} \tag{6.2}$$

       注意： 1）模拟滤波器要化解为列项之和的形式（部分分式分解）；2）分子乘以 $T_s$，防止采样频率过高，换算后的 $H(z)$ 过大。

   • 双线性变换法

     • $\omega , \Omega$ 之间的映射关系，转为单值映射

       

     • 替换H(s)中的s

七、高通滤波器

  高通转为低通进行设计：

   双线性法求解数字滤波器

八、带通滤波器

九、FIR滤波器

9.1 特点

$$y(n) = \sum\limits_{k=0}^{N-1} b_k x(n-k) \tag{9.1}$$

$$H(z) = \sum\limits_{k=0}^{N-1} b_k z^{-k} \tag{9.2}$$

零点：$\sum\limits_{k=0}^{N-1} b_k z^{-k} = 0$，有N-1个
极点：$1 = 1 + \sum\limits_{k=0}^{N-1} a_k z^{-k}$，即极点$z^{-k} = 0$

   通过时域公式可知，FIR滤波器是因果的；极点在单位圆内。故FIR恒稳定。

9.2 分类

十、FIR滤波器设计

10.1 通用公式

10.2 理想的FIR低通滤波器

10.3 窗函数